ISCT – ALBERTO CHIPANDE – 1º TESTE DE MATEMÁTICA I – 2022
Exercício 3. Determinar as seguintes integrais.
- a) \(\int x \cos \left(x^{2}\right) d x \)
- b) \(\int \sqrt{x^{3}-5 x^{4}}\left(3 x^{2}-20 x^{3}\right) d x\).
Para resolver as integrais fornecidas, podemos usar técnicas como substituição e simplificação da expressão.
a) \(\int x \cos \left(x^{2}\right) \, dx \)
Para resolver esta integral, vamos usar a substituição.
Defina \( u = x^2 \), então \( du = 2x \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{2x} \).
Substituindo na integral:
\[\int x \cos \left(x^{2}\right) \, dx = \int x \cos(u) \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int \cos(u) \, du\]
Agora, a integral se simplifica para:
\[\frac{1}{2} \int \cos(u) \, du = \frac{1}{2} \sin(u) + C\]
Substituindo \( u \) de volta para \( x^2 \):
\[\frac{1}{2} \sin(x^2) + C\]
Portanto,
\[\int x \cos \left(x^{2}\right) \, dx = \frac{1}{2} \sin(x^2) + C\]
b) \(\int \sqrt{x^{3}-5 x^{4}}\left(3 x^{2}-20 x^{3}\right) \, dx\)
Para resolver esta integral, vamos usar substituição. Defina \( u = x^{3} – 5 x^{4} \). Então,
\[du = (3x^2 – 20x^3) \, dx\]
Assim, a integral se torna:
\[\int \sqrt{u} \, du\]
A integral de \(\sqrt{u}\) é:
\[\int u^{1/2} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2} + C\]
Voltando a substituição para \( u = x^3 – 5x^4 \):
\[\frac{2}{3} (x^{3} – 5 x^{4})^{3/2} + C\]
Portanto,
\[\int \sqrt{x^{3}-5 x^{4}}\left(3 x^{2}-20 x^{3}\right) \, dx = \frac{2}{3} (x^{3} – 5 x^{4})^{3/2} + C\]
Resumo
– Integral (a): \(\int x \cos \left(x^{2}\right) \, dx = \frac{1}{2} \sin(x^2) + C\)
– Integral (b): \(\int \sqrt{x^{3}-5 x^{4}}\left(3 x^{2}-20 x^{3}\right) \, dx = \frac{2}{3} (x^{3} – 5 x^{4})^{3/2} + C\)