Dada a equação 3x²-4x+5m = 0, determine o valor de m de modo que:
- Dada a equação 3x²-4x+5m = 0, determine o valor de m de modo que:
- a) Equação admita duas raízes reais e diferentes.
- b) o produto das raízes seja 2/3
- c)A equação admita uma raiz nula.
- d) 3 seja uma das raízes
Vamos resolver cada parte do problema para a equação \(3x^2 – 4x + 5m = 0\).
a) Para que a equação admita duas raízes reais e diferentes:
Para que uma equação quadrática admita duas raízes reais e diferentes, o discriminante (\(\Delta\)) deve ser maior que zero. O discriminante para uma equação \(ax^2 + bx + c = 0\) é dado por:
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
Aplicando isso à equação \(3x^2 – 4x + 5m = 0\):
\[ \Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 5m \]
\[ \Delta = 16 – 60m \]
Para que a equação tenha duas raízes reais e diferentes, precisamos que \(\Delta > 0\):
\[ 16 – 60m > 0 \]
\[ 16 > 60m \]
\[ m < \frac{16}{60} \]
\[ m < \frac{4}{15} \]
Portanto, o valor de \(m\) deve ser:
\[ m < \frac{4}{15} \]
b) Para que o produto das raízes seja \(\frac{2}{3}\):
Para uma equação quadrática \(ax^2 + bx + c = 0\), o produto das raízes é dado por \(\frac{c}{a}\). Para a equação \(3x^2 – 4x + 5m = 0\):
\[ \frac{5m}{3} = \frac{2}{3} \]
Multiplicando ambos os lados por 3:
\[ 5m = 2 \]
\[ m = \frac{2}{5} \]
Portanto, o valor de \(m\) deve ser:
\[ m = \frac{2}{5} \]
c) Para que a equação admita uma raiz nula:
Para que uma equação quadrática \(ax^2 + bx + c = 0\) tenha uma raiz nula, o termo constante \(c\) deve ser zero. Na equação \(3x^2 – 4x + 5m = 0\), isso significa que:
\[ 5m = 0 \]
\[ m = 0 \]
Portanto, o valor de \(m\) deve ser:
\[ m = 0 \]
d) Para que 3 seja uma das raízes:
Se \(x = 3\) é uma raiz da equação \(3x^2 – 4x + 5m = 0\), então substituímos \(x = 3\) na equação e resolvemos para \(m\):
\[ 3(3)^2 – 4(3) + 5m = 0 \]
\[ 3(9) – 12 + 5m = 0 \]
\[ 27 – 12 + 5m = 0 \]
\[ 15 + 5m = 0 \]
\[ 5m = -15 \]
\[ m = -3 \]
Portanto, o valor de \(m\) deve ser:
\[ m = -3 \]
Resumindo:
a) \( m < \frac{4}{15} \)
b) \( m = \frac{2}{5} \)
c) \( m = 0 \)
d) \( m = -3 \)