ISCT – ALBERTO CHIPANDE – 1º TESTE DE MATEMÁTICA I – 2022
Exercício 5. Determine os seguintes limites:
- a) \(\lim _{x \rightarrow \infty}=\sqrt{x^{2}+3}-x\)
b) \(\lim _{x \rightarrow \infty}=\left(\frac{2 x+1}{2 x}\right)^{x^{2}-2 x}\).
Para determinar os limites dados, vamos analisar cada um com métodos adequados.
a) \(\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}+3} – x\)
Para resolver este limite, observe que a expressão \(\sqrt{x^2 + 3}\) pode ser manipulada para simplificar a análise conforme \(x \to \infty\). Uma técnica útil é multiplicar e dividir por \(\sqrt{x^2 + 3} + x\) para racionalizar:
\[ \sqrt{x^2 + 3} – x = \frac{(\sqrt{x^2 + 3} – x)(\sqrt{x^2 + 3} + x)}{\sqrt{x^2 + 3} + x} = \frac{x^2 + 3 – x^2}{\sqrt{x^2 + 3} + x} = \frac{3}{\sqrt{x^2 + 3} + x} \]
Agora, simplificando para \(x \to \infty\):
\[ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3}{\sqrt{x^2 + 3} + x} \]
Como \(x \to \infty\), \(\sqrt{x^2 + 3} \approx x\), então:
\[ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3}{x + x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3}{2x} = 0 \]
Portanto,
\[ \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^2 + 3} – x = 0 \]
b) \(\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{2 x+1}{2 x}\right)^{x^{2}-2 x}\)
Para resolver este limite, primeiro simplificamos a base da exponencial:
\[ \frac{2x + 1}{2x} = 1 + \frac{1}{2x} \]
Agora, o limite se torna:
\[ \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{2x}\right)^{x^2 – 2x} \]
Para resolver, observe que \(1 + \frac{1}{2x} \approx e^{\frac{1}{2x}}\) conforme \(x \to \infty\), o que sugere que podemos usar a forma exponencial \(e^y\) com \(y\) sendo uma função conveniente. Vamos analisar o logaritmo da expressão:
\[ \ln \left[ \left(1 + \frac{1}{2x}\right)^{x^2 – 2x} \right] = (x^2 – 2x) \ln \left(1 + \frac{1}{2x}\right) \]
Usando a aproximação \( \ln(1 + y) \approx y \) para \( y \to 0 \):
\[ \lim_{x \rightarrow \infty} (x^2 – 2x) \ln \left(1 + \frac{1}{2x}\right) \approx \lim_{x \rightarrow \infty} (x^2 – 2x) \cdot \frac{1}{2x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2 – 2x}{2x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{2} – 1 = \infty \]
Assim,
\[ \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{2x}\right)^{x^2 – 2x} = e^{\infty} = \infty \]
Portanto,
\[ \lim_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{2 x+1}{2 x}\right)^{x^{2}-2 x} = \infty \]
Resumo dos Limites
– Limite (a): \(\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}+3} – x = 0\)
– Limite (b): \(\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{2 x+1}{2 x}\right)^{x^{2}-2 x} = \infty\)